高校物理の基礎

【第20講】揺れる世界のハーモニー! ~単振動の法則とバネの魔法~

最終更新日: 2025-07-08 04:40:10

作成者: カリスマ講師

前回は、物体がグルグルと円を描いて回る「等速円運動」と、その運動を引き起こす「向心力」について徹底的に学んだ。その最後に、君の理解度をさらにブーストするための確認問題を3つ出したよな。まずはその答え合わせで、今日の講義に向けて脳のコンディションを最高潮に持っていこう!


【前回の宿題解説】円運動の真髄、見抜けたか!?

質問1:「等速円運動をしている物体についてだ。速さの『大きさ』は一定だけど、速度の『向き』は変わるんだったよな。じゃあ、運動エネルギー \( K = \frac{1}{2}mv^2 \) は、運動の途中で変化するかな?しないかな? その理由は?」

質問2:「遊園地にある『回転ブランコ』。乗客が乗ったブランコが回転すると、ブランコは外側に開いて斜めになるよね。このとき、乗客が円運動をするための『向心力』の役割を果たしているのは、具体的にどんな力(あるいは力の成分)だろうか?」

質問3:「円錐振り子の例題で、もし糸の長さ \( L \) を2倍にしたら、同じ角度 \( \theta \) で回転するときの周期 \( P_e \) は何倍になるかな? 式を見て考えてみよう!」


さあ、頭のウォーミングアップは完了だな! 円運動の奥深さ、その片鱗を感じ取ってくれたと思う。今日、我々が足を踏み入れるのは、その円運動と、まるで兄弟のように深い絆で結ばれている「単振動(たんしんどう)」の世界だ!

バネの先につけられたおもりがビヨーン、ビヨーンと揺れる動き。公園のブランコが左右に揺れる動き(振れ幅が小さいときね)。時計の振り子がカチ、コチと時を刻む動き。ギターの弦を弾いたときのブルブルッとした振動。これらは全部、単振動の仲間なんだ! 単振動は、自然界のあらゆる「振動」や「波」の現象を理解するための基本中の基本となる、ものすごーーーく重要な運動なんだぜ!

準備はいいか? リズムと周期が支配する、美しい単振動の世界へ、いざ出発だ!

【第20講】揺れる世界のハーモニー! ~単振動の法則とバネの魔法~

単振動 (Simple Harmonic Motion, SHM) とは? ~行ったり来たりの美学~

「単振動」とは、物体が、あるつり合いの位置(振動の中心)から行ったり来たりを繰り返す運動のことだ。 でも、ただ往復運動すれば何でも単振動ってわけじゃない。単振動には、特別な「力の条件」があるんだ。

それは、物体に働く力が、「つり合いの位置からの変位に比例し、常につり合いの位置へ向かう向き」であること! この、つり合いの位置に戻そうとする力のことを「復元力(ふくげんりょく)」という。 数式で書くと、復元力 \( F \) は、

\( \Large{F = -Kx} \)

と表される。ここで、

この復元力 \( F=-Kx \) を受けて運動する物体の運動方程式は、\( ma = F \) より、 \( ma = -Kx \) つまり、加速度 \( a \) は、 \( \Large{a = -\frac{K}{m}x} \) となる。加速度も、変位に比例して、向きが逆なんだな! ここで、\( \omega^2 = \frac{K}{m} \) (\( \omega \) はオメガと読む)と書くと、 \( \bm{a = -\omega^2 x} \) とスッキリ表せる。この \( \omega \) を「角振動数(かくしんどうすう)」という。円運動の角速度とそっくりだけど、単振動の場合は「角」と言っても実際に回っているわけじゃない。でも、周期との関係とか、数学的な扱いは円運動の角速度と非常によく似ているんだ。

単振動の様子を数式で表現! ~波打つサインカーブ~

単振動している物体の位置(変位 \( x \))、速度 \( v \)、加速度 \( a \) は、時間 \( t \) とともに周期的に変化する。その様子は、三角関数(サイン \( \sin \) やコサイン \( \cos \))を使うと、とってもキレイに表せるんだ。

単振動の周期 \( T \) と振動数 \( f \) ~リズムを刻む~

円運動との深い関係 ~影が織りなす単振動~

「なんで単振動の式に、円運動で出てきた \( \omega \) とか三角関数が出てくるんだ?」って思ったかもしれない。 実は、等速円運動している物体を真横から見ると、その影の動きは単振動になるんだ!

半径 \( A \) の円周上を、角速度 \( \omega \) でグルグル回っている点を想像してくれ。 その点を、\( x \)軸(円の直径)に投影した影の動きを追いかけると、まさに \( x = A \cos(\omega t) \) (または \( \sin \)) という単振動の式で表される動きをするんだ! この「等速円運動の射影(しゃえい)」という考え方は、単振動の変位や速度、加速度の式を理解するのにめちゃくちゃ役立つぞ!

例題演習1:水平ばね振り子 ~バネのダンス~

問題: 「なめらかな水平面上に、質量 \( m = 0.50 \mathrm{kg} \) の物体が置かれ、ばね定数 \( k = 2.0 \mathrm{N/m} \) の軽いばねの一端に結ばれ、他端は壁に固定されている。物体をつり合いの位置(\( x=0 \))から右向きに \( A = 0.10 \mathrm{m} \) だけ引っ張って、静かに手を離したところ、物体は単振動を始めた。 (1) この単振動の角振動数 \( \omega \) と周期 \( T \) を求めよ。 (2) 物体が再びつり合いの位置(\( x=0 \))を通過するときの速さの最大値 \( v_{max} \) を求めよ。 (3) 物体の変位が \( x = 0.05 \mathrm{m} \) のときの、加速度の大きさ \( |a| \) を求めよ。」

例題演習2:単振り子 ~揺れる重力のメロディー~ (振れ角が小さい場合)

時計の振り子みたいに、糸の先におもりを吊るして揺らすやつだ。 実は、この単振り子の振れ角 \( \theta \) が非常に小さいとき、その運動は単振動とみなせるんだ!

単振動とエネルギー保存

単振動では、復元力(バネの力や、単振り子の場合は重力の分力)は保存力だ。だから、単振動している物体の力学的エネルギー \( E = K + U = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}Kx^2 \) は保存されるんだ! エネルギーは、運動エネルギーになったり、位置エネルギー(バネの場合は弾性エネルギー)になったりしながら、その合計値は常に一定に保たれる。 例えば、振動の端っこ (\( x=\pm A \)) では、速さ \( v=0 \) なので運動エネルギーはゼロ、位置エネルギーが最大 (\( U_{max} = \frac{1}{2}KA^2 \)) となる。 逆に、振動の中心 (\( x=0 \)) では、位置エネルギーはゼロ(または最小)、速さ \( v \) が最大 (\( v_{max} \)) なので運動エネルギーが最大 (\( K_{max} = \frac{1}{2}mv_{max}^2 \)) となる。 そして、常に \( E = \frac{1}{2}KA^2 = \frac{1}{2}mv_{max}^2 \) が成り立っているんだ。


ふぅーっ!今日の講義も魂を揺さぶる内容だったな!単振動という、周期的運動の基本形をマスターすれば、波の性質を理解する上でものすごく役立つぞ! 復元力、角振動数、周期、そして円運動との美しい関係。一つ一つじっくりと味わってほしい。

最後に、君の脳に単振動のリズムを刻み込むための、最終セッションだ! 1. 単振動している物体が、振動の中心(つり合いの位置、x=0)を通過するとき、物体の速度は最大?最小?それともゼロ? 加速度はどうかな? 2. 水平ばね振り子の周期 \( T = 2\pi \sqrt{m/k} \)。もし、おもりの質量 \( m \) を4倍にしたら、周期 \( T \) は何倍になるかな? もし、ばね定数 \( k \) を4倍(もっと硬いバネ)にしたら、周期 \( T \) は何倍になるかな? 3. 単振り子の周期は、おもりの質量によらないんだったよな。じゃあ、同じ長さの単振り子を、地球上と月面上(月面では重力加速度が地球の約1/6)で振らせたら、周期はどっちが長くなると思う? その理由は?

次回は、この単振動のエネルギーについてもう少し詳しく見ていくか、あるいは力学の総まとめとして、まだ触れていない重要なトピック「万有引力とケプラーの法則」に進むか、はたまた、いよいよ新しい分野「熱力学」や「波動」の世界の扉を開くか… 君の熱意と理解度に応じて、最高のコースを選んでいくぜ! それじゃ、また次回!今日の振動、しっかり体に染み込ませておけよ!健闘を祈る!🎶

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