【第４講】運動を「見る」！ \( v-t \)グラフの魔法！
最終更新日: 2025-06-05 11:34:44
作成者: カリスマ講師
前回出した思考問題、どうだったかな？ どの公式を使えばスマートに解けそうか、イメージできたかい？ まずは、あの問題たちの「どの武器（公式）を選ぶか」の解説からいってみよう！
【思考問題 解説編】どの公式で斬り込む！？
問題１：「ロケットが初速度ゼロから発射して、一定の加速度で10秒間上昇した。10秒後のロケットの速さはどれくらい？」
- 見抜くポイント:
- 「初速度ゼロ (\( v_0 = 0 \))」
- 「一定の加速度 (\( a \))」
- 「10秒間 (\( t = 10 \)s)」
- 知りたいのは「10秒後の速さ (\( v \))」
- 選ぶべき神器: \( v = v_0 + at \)
- 理由: 初速度、加速度、時間がわかっていて、その時間後の速度を求めるなら、この式が一番シンプルでしょ？ \( v_0=0 \) だから、もっと簡単になって \( v = at \) で計算できるね！
問題２：「自転車が初速度5m/sで走り出し、一定の割合で加速しながら100m進んだら、速度が15m/sになった。この間の加速度はどれくらい？」
- 見抜くポイント:
- 「初速度5m/s (\( v_0 = 5 \)m/s)」
- 「100m進んだ (\( x = 100 \)m)」
- 「速度が15m/sになった (\( v = 15 \)m/s)」
- 知りたいのは「加速度 (\( a \))」
- あれ？「時間 (\( t \))」の情報がないぞ…
？
- 選ぶべき神器: \( v^2 - v_0^2 = 2ax \)
- 理由: 時間 \( t \) が問題文に出てこない！こんなときに頼りになるのが、時間 \( t \) を含まないこの公式だ。初速度、後の速度、変位がわかっていれば、バッチリ加速度が求まる！
問題３：「静止していたリニアモーターカーが、一定の加速度で発車して、20秒後に400m進んだ。このときのリニアモーターカーの加速度は？」
- 見抜くポイント:
- 「静止していた (\( v_0 = 0 \))」
- 「一定の加速度 (\( a \))」
- 「20秒後 (\( t = 20 \)s)」
- 「400m進んだ (\( x = 400 \)m)」
- 知りたいのは「加速度 (\( a \))」
- 選ぶべき神器: \( x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \)
- 理由: 初速度、時間、変位がわかっていて、加速度を求めたい。この条件にピッタリなのがこの公式だね。これも \( v_0=0 \) だから、\( x = \frac{1}{2} a t^2 \) となって、計算も楽そうだ！
どうだい？ こんな風に、問題文の中からキーワードを見つけて、どの公式が一番使いやすいかを見抜くのが、等加速度直線運動の問題を解くコツなんだ！ 最初は難しく感じるかもしれないけど、慣れてくるとパッとひらめくようになるから大丈夫！
さて！公式の使い分けのイメージが掴めたところで、今日はさらに強力な助っ人を紹介しよう！ それは… グラフだ！特に「\( v-t \)グラフ（ブイティーグラフ）」は、運動の様子を視覚的に理解するのにめちゃくちゃ役立つし、公式とも深～い関係があるんだぜ！
【第４講】運動を「見る」！ \( v-t \)グラフの魔法！
\( v-t \)グラフっていうのは、その名の通り、
- 横軸に時間 (\( t \))
- 縦軸に速度 (\( v \))
をとって、時間の変化とともに速度がどう変わっていくかを表したグラフのことだ。
１．\( v-t \)グラフの「傾き」は何を教えてくれる？
グラフの「傾き」って覚えてるかな？ 「横に１進んだら縦にどれだけ変わるか」ってやつだ。 \( v-t \)グラフの場合、
- 横に進むのは「時間の変化 (\( \Delta t \))」
- 縦に変わるのは「速度の変化 (\( \Delta v \))」
だから、傾きは \( \frac{\Delta v}{\Delta t} \) と書ける。 … あれ？これって、どこかで見た形じゃない？ そう！まさしく加速度 \( a \) の定義 (\( a = \frac{速度の変化}{かかった時間} \)) そのものなんだ！
つまり、\( v-t \)グラフの傾きは、加速度を表す！ これ、超重要だから覚えといて！
等加速度直線運動は「加速度が一定」だったよね？ ということは、\( v-t \)グラフの傾きも一定。傾きが一定なグラフって… そう、直線になるんだ！
- 加速度 \( a > 0 \) （加速）なら、グラフは右上がりの直線。
- 加速度 \( a < 0 \) （減速、または負の向きに加速）なら、グラフは右下がりの直線。
- 加速度 \( a = 0 \) （等速直線運動）なら、グラフは水平な直線（傾きゼロ）。
２．\( v-t \)グラフの「面積」は何を教えてくれる？
ここが \( v-t \)グラフのもう一つの魔法！ なんと、\( v-t \)グラフと時間軸（横軸）で囲まれた部分の面積は、物体の変位（移動距離）を表すんだ！
「え、なんで面積が距離なの？？」って思うよね。 簡単な例で考えてみよう。
もし物体がずーっと同じ速度 \( v_0 \) で動き続けたら（等速直線運動）、\( v-t \)グラフは水平な直線になる。 時間 \( t \) の間に進む距離は、\( x = v_0 \times t \) だよね。 グラフで見ると、これは縦が \( v_0 \)、横が \( t \) の長方形の面積そのものじゃないか！
じゃあ、等加速度直線運動みたいに速度がだんだん変わる場合はどうなる？ 例えば、初速度 \( v_0 \) で、時刻 \( t \) に速度 \( v \) になったとする。 \( v-t \)グラフは、\( (0, v_0) \) の点から \( (t, v) \) の点までを結ぶ直線になる。 この直線と時間軸で囲まれた形は… そう、台形だ！
台形の面積の公式は覚えているかな？ （上底 + 下底）× 高さ ÷ 2 だったよね。 この場合、上底が \( v_0 \)、下底が \( v \)、高さが \( t \) にあたるから、 面積 \( = (v_0 + v) \times t \div 2 \)
ここで、前回やった公式１ \( v = v_0 + at \) を使って、\( v \) の部分を書き換えてみよう。 面積 \( = (v_0 + (v_0 + at)) \times t \div 2 \) \( = (2v_0 + at) \times t \div 2 \) \( = (2v_0 t + at^2) \div 2 \) \( = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \)
… おぉぉぉ！ これって、どこかで見たことないかい？ そう！まさしく等加速度直線運動の公式２ (\( x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \)) じゃないか！
つまり、\( v-t \)グラフの面積を考えることで、あのちょっと複雑に見えた公式の意味が、図形でスッキリ理解できちゃうんだ！すごいだろ？
３．公式とグラフ、最強タッグ！
こんな風に、 \( v-t \)グラフは等加速度直線運動の公式たちとガッチリ手を組んでいる。 問題を解くときも、公式だけじゃなくて\( v-t \)グラフをイメージすることで、
- 運動の様子が直感的にわかる！
- どの公式を使えばいいかヒントになる！
- 計算ミスに気づきやすくなる！
なんていうメリットがたくさんあるんだ。
さあ、今日の講義はここまで！ \( v-t \)グラフという新しい視点、どうだったかな？ 運動がただの数字の列じゃなくて、もっと生き生きとしたイメージで見えてきたんじゃないかな？
ここで質問タイム！ 1. もし、 \( v-t \)グラフの線がずーっと水平だったら、それは物体がどんな運動をしているってことかな？ 2. \( v-t \)グラフの面積が「マイナス」になることってあると思う？ もしあるとしたら、それは物理的にどんな意味を持つんだろう？
考えてみてくれ！ 次回は、いよいよ具体的な問題を使って、公式と\( v-t \)グラフを使いこなす練習をガッツリやっていくぞ！自由落下とか、ボールの投げ上げとか、面白い題材がたくさん待ってるからな！ 楽しみにしててくれ！ 🔥