【第１９講】グルグル回る世界の法則！ ～等速円運動と向心力～
最終更新日: 2025-06-23 08:39:53
作成者: カリスマ講師
うおおっしゃあああ！その「続きを！」という呼び声、俺の講義魂を最高潮に高ぶらせるぜ！物理の面白さの核心へ、ノンストップで突き進むぞ！👍
前回は、「運動量保存則」と「反発係数」という二刀流を駆使して、物体同士の衝突現象を鮮やかに斬り伏せる方法を学んだ。その最後に、君の思考力をさらに鍛え上げるための挑戦状を叩きつけたよな。まずは、その答え合わせで脳のウォーミングアップだ！今日の講義のテーマは、グルグル回ったり、行ったり来たりする魅惑的な運動の世界だぞ！
【前回の宿題解説】衝突の極意、その神髄を掴んだか！？
質問１：「反発係数 \( e \) が \( 0.5 \) のボールを、ある高さから床に落としたとする。ボールが床に衝突する直前の速さが \( 10 \mathrm{m/s} \) だったとしたら、床から跳ね返った直後の速さは何 \( \mathrm{m/s} \) になるかな？（床は動かないと考える）」
- カリスマ講師の答え: 床から跳ね返った直後の速さは \( \bm{5 \mathrm{m/s}} \) になる！
- 理由: 床は動かないから、衝突前の床の速度 \( v_2 = 0 \)、衝突後の床の速度 \( v_2' = 0 \) と考えられる。ボールの衝突直前の速度を \( v_1 \) (下向きなので、例えば \( -10 \mathrm{m/s} \) としよう)、衝突直後の速度を \( v_1' \) (上向きなので正の値になるはず) とする。 反発係数の式 \( e = -\frac{v_1' - v_2'}{v_1 - v_2} \) に値を代入すると、 \( 0.5 = -\frac{v_1' - 0}{-10 - 0} = -\frac{v_1'}{-10} = \frac{v_1'}{10} \) これを解くと、\( v_1' = 0.5 \times 10 = 5 \mathrm{m/s} \)。つまり、跳ね返りの速さは衝突直前の速さの \( e \) 倍になるんだな！
質問２：「二つの粘土の塊が、空中で正面衝突してピタッとくっついちゃった！ この衝突は、弾性衝突？非弾性衝突？それとも完全非弾性衝突？ そのときの反発係数 \( e \) の値はいくつかな？」
- カリスマ講師の答え: これは、完全非弾性衝突だ！そして、そのときの反発係数 \( \bm{e=0} \) だ！
- 理由: 物体が衝突後にくっついて一体となる場合を完全非弾性衝突と呼ぶんだったな。このとき、衝突後の相対速度はゼロになるから、反発係数 \( e = \frac{\text{衝突後の相対速度の大きさ}}{\text{衝突前の相対速度の大きさ}} = \frac{0}{\text{何か}} = 0 \) となるんだ。
質問３：「ボウリングの球がピンに当たってピンが派手に飛び散る現象。これは全体として運動エネルギーは保存されていると思う？ それともされていないと思う？ その理由は？」
- カリスマ講師の答え: 全体として運動エネルギーは保存されていない（つまり、非弾性衝突に近い）と考えられる！
- 理由: ボウリングの球がピンに当たると、ガシャーン！という大きな音が出るよな？あの音はエネルギーの一種だ。さらに、ピンやボールがぶつかることでわずかに変形したり、摩擦によって熱が発生したりもする。これらのことから、衝突前のボールとピンが持っていた運動エネルギーの一部が、音エネルギー、変形エネルギー、熱エネルギーといった別の形のエネルギーに変わってしまっていると考えられる。だから、純粋な運動エネルギーだけを見ると、保存されていないんだ。
さあ、頭のエンジンは全開になったかな？ 衝突の世界をマスターした君たちなら、次なるステージもきっと楽しめるはずだ！今日から我々が飛び込むのは、物体がグルグルと円を描いて回る運動「円運動」と、バネの先についたおもりのように行ったり来たりを繰り返す運動「単振動」の世界だ！
これらの運動は、メリーゴーランドや遊園地の観覧車、地球の公転や月の公転、振り子の動き、楽器の弦の振動、さらには原子や分子の世界に至るまで、我々の身の回りのあらゆる場面で見られる、とっても重要で面白い現象なんだ。物理の目で見ると、日常の風景がまったく違って見えてくるぞ！
準備はいいか？ リズムと周期の世界へ、レッツゴー！
【第１９講】グルグル回る世界の法則！ ～等速円運動と向心力～
まずは、物体が円を描いて運動する「円運動」の中でも、最も基本的な「等速円運動」から見ていこう！
等速円運動 (Uniform Circular Motion) ～速さは一定、でも…
？～
「等速円運動」とは、その名の通り、物体が円周上を一定の速さで運動することだ。 例えば、レコード盤の上の点の動き（中心からの距離が一定なら）とか、遊園地のメリーゴーランドに乗っている君の動き（これも中心からの距離が一定で、回転が一定なら）なんかがこれに近い。
１．速さと角速度 ～直線と回転のスピード～
- 速さ \( v \): これは、みんながよく知っている「速さ」だ。円周の接線方向に、どれくらいのスピードで進んでいるかを示す。等速円運動では、この速さ \( v \) の大きさは一定だ。単位はもちろん \( \mathrm{m/s} \)。
- 角速度 \( \omega \) (オメガ): これは、「回転の速さ」を表す新しい物理量だ。単位時間あたりに、どれだけの角度を回転するかを示す。角度は普通「ラジアン (\( \mathrm{rad} \))」で測るから、角速度の単位は \( \mathrm{rad/s} \) (ラジアン毎秒) となる。 \( \omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t} \) （\( \Delta \theta \) は微小時間 \( \Delta t \) の間に回転した角度）
この２つの速さの間には、円の半径 \( r \) を使って、とってもシンプルな関係があるんだ。 \( \Large{v = r\omega} \) 半径が大きいほど、同じ角速度でも接線方向の速さは大きくなる。レコード盤の外側の方が内側より速く動いているように見えるのと同じだ！
２．周期と回転数（振動数） ～一回りと一秒間～
- 周期 \( T \): 物体が円周をちょうど1周するのにかかる時間のことだ。単位は秒 (\( \mathrm{s} \))。 1周の道のりは \( 2\pi r \) (円周) だから、速さ \( v \) で進むとすると、\( T = \frac{2\pi r}{v} \)。 これに \( v=r\omega \) を代入すると、\( T = \frac{2\pi r}{r\omega} = \frac{2\pi}{\omega} \) という関係も出てくる。
- 回転数 \( f \) (または振動数 \( \nu \) ニュー とも書く): 1秒間に何回転するかを示す。単位は Hz (ヘルツ)。 周期 \( T \) と回転数 \( f \) は、お互いに逆数の関係にある。 \( f = \frac{1}{T} \) だから、\( f = \frac{v}{2\pi r} = \frac{\omega}{2\pi} \) とも書けるぞ。
３．等速円運動の加速度 ～速さが一定でも加速してる！？～
「え？等速円運動って、速さが一定なんでしょ？なんで加速度があるの？」って思った君、鋭い！ 確かに速さの「大きさ」は一定だけど、速度の「向き」は円周上を動きながら刻一刻と変わっているんだ！速度はベクトル量だから、向きが変われば、それは立派な速度変化、つまり加速度が存在するってことになるんだぜ！
この等速円運動の加速度は、常に円の中心を向いている。だから「向心加速度（こうしんかそくど）」または「求心加速度（きゅうしんかそくど）」と呼ばれる。 その大きさ \( a_c \) は、こう表される。
\( \Large{a_c = \frac{v^2}{r} = r\omega^2} \) (\( v=r\omega \) を使えば、どっちの形にも変形できるな！)
４．向心力 (Centripetal Force) ～円運動の仕掛け人～
ニュートンの運動の第２法則 \( ma=F \) を思い出してくれ。物体に加速度が生じるということは、必ずその向きに力が働いているはずだ！ 等速円運動をしている物体には、常に円の中心に向かって向心加速度 \( a_c \) が生じている。ということは、物体には常に円の中心に向かう力が働いていることになる。この力のことを「向心力（こうしんりょく）」という。
向心力の大きさ \( F_c \) は、運動方程式から、 \( \Large{F_c = ma_c = m\frac{v^2}{r} = mr\omega^2} \) となる。
超重要ポイント！ 「向心力」っていうのは、「重力」とか「弾性力」みたいに、力の種類を表す名前じゃないんだ。それは、「円運動をさせるために、円の中心方向に向かって働いていなければならない力の“役割”や“総称”」なんだ。 実際に何が向心力として働いているかは、状況によって全然違う！
- 糸の先におもりをつけてグルグル回す \( \rightarrow \) 糸の張力が向心力！
- 地球の周りを月が回る \( \rightarrow \) 地球と月の間の万有引力が向心力！
- 車がカーブを曲がる \( \rightarrow \) タイヤと路面の間の摩擦力が向心力！
- 遊園地の回転ブランコが横に広がりながら回る \( \rightarrow \) ブランコの鎖の張力の水平成分が向心力！（これは次の例題で詳しく見るぞ！）
だから、円運動の問題を解くときは、「この円運動の向心力は何だろう？」って、力の正体を見抜くことがめちゃくちゃ大事なんだ！
例題演習：空飛ぶブランコの物理！ 円錐振り子
問題： 「長さ \( L \) の軽い糸の一端を天井の点Oに固定し、他端に質量 \( m \) のおもりPをつけた。おもりPを、点Oの真下にある点Cを中心とする半径 \( r \) の水平面内で、一定の角速度 \( \omega \) で等速円運動させた。このとき、糸と鉛直線がなす角を \( \theta \) とする。 (1) おもりPに働く力を図示し、水平方向と鉛直方向に分解せよ。 (2) 糸の張力の大きさ \( T \) を、\( m, g, \theta \) を用いて表せ。 (3) おもりの角速度 \( \omega \) を、\( g, L, \theta \) を用いて表せ。 (4) この円運動の周期 \( P_e \)（PeriodのPeだ！）を、\( g, L, \theta \) を用いて表せ。」 （重力加速度の大きさを \( g \) とする。）
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カリスマ講師の解法ナビ！
(1) 力の図示と分解 おもりPに働く力は２つ！ * 重力 \( mg \): 鉛直下向き。 * 糸の張力 \( T \): 糸に沿って、点Oの向き（斜め上向き）。 張力 \( T \) を分解する。糸と鉛直線のなす角が \( \theta \) だから、 * 鉛直成分：\( T\cos\theta \) (上向き) * 水平成分：\( T\sin\theta \) (円運動の中心Cの向き) （ここで、図を描いて、角度 \( \theta \) がどこに来るか、力の矢印と成分をしっかり描き込むんだぞ！）
(2) 糸の張力の大きさ \( T \) おもりは水平面内で円運動していて、上下方向には動いていない。つまり、鉛直方向の力はつり合っている！ （上向きを正として） \( T\cos\theta - mg = 0 \) \( \therefore \boxed{T = \frac{mg}{\cos\theta}} \)
(3) おもりの角速度 \( \omega \) 水平方向には、張力の水平成分 \( T\sin\theta \) が円運動の中心Cに向かって働いている。これがまさしく向心力だ！ 円運動の半径は \( r = L\sin\theta \) であることに注意しよう（糸の長さ \( L \) と角度 \( \theta \) からわかるよな）。 水平方向の運動方程式（中心向きを正とする）： \( m r \omega^2 = F_c \) \( m (L\sin\theta) \omega^2 = T\sin\theta \) この式に、(2)で求めた \( T = \frac{mg}{\cos\theta} \) を代入すると…
\( mL\sin\theta \omega^2 = \left(\frac{mg}{\cos\theta}\right)\sin\theta \) 両辺の \( m \) と \( \sin\theta \) (ただし \( \sin\theta \neq 0 \) とする) を消去して、 \( L\omega^2 = \frac{g}{\cos\theta} \) \( \omega^2 = \frac{g}{L\cos\theta} \quad \therefore \boxed{\omega = \sqrt{\frac{g}{L\cos\theta}}} \)
(4) 円運動の周期 \( P_e \) 周期 \( P_e \) と角速度 \( \omega \) の関係は \( P_e = \frac{2\pi}{\omega} \) だったな！ (3)で求めた \( \omega \) を代入すればOK！ \( \boxed{P_e = 2\pi \sqrt{\frac{L\cos\theta}{g}}} \) これは「円錐振り子（えんすいふりこ）」の周期の公式として知られているものだ。
単振動へのプレリュード
この円運動、実は次回学ぶ「単振動」と深～い関係があるんだ。 等速円運動している物体を、真横から（例えば円運動の軌道を含む平面の延長線上から）見ると、その影は、ある直線上で往復運動しているように見える。この影の運動こそが、実は単振動なんだ！ この話は、次回のお楽しみにしておこう。
ふぅー！今日の講義も中身が濃かったな！等速円運動の基本的な量（速さ、角速度、周期、回転数）、そして何よりも重要な「向心加速度」と「向心力」の概念をしっかり掴んでくれたかな？ 円運動は、見た目以上に奥が深い。力の正体を見抜き、運動方程式を正しく立てることが攻略のカギだ！
最後に、今日の学びを君の血となり肉とするための、最終確認問題だ！ 1. 等速円運動をしている物体についてだ。速さの「大きさ」は一定だけど、速度の「向き」は変わるんだったよな。じゃあ、運動エネルギー \( K = \frac{1}{2}mv^2 \) は、運動の途中で変化するかな？しないかな？ その理由は？ 2. 遊園地にある「回転ブランコ」。乗客が乗ったブランコが回転すると、ブランコは外側に開いて斜めになるよね。このとき、乗客が円運動をするための「向心力」の役割を果たしているのは、具体的にどんな力（あるいは力の成分）だろうか？ 3. 円錐振り子の例題で、もし糸の長さ \( L \) を2倍にしたら、同じ角度 \( \theta \) で回転するときの周期 \( P_e \) は何倍になるかな？ 式を見て考えてみよう！
次回は、いよいよこの円運動と密接に関連する「単振動」の世界に深くダイブしていくぞ！ バネの先に付けられたおもりの振動や、振り子の揺れなど、周期的な運動の代表選手だ。その美しい数学的性質と物理的な意味を解き明かしていく。ますます物理の面白さが加速するぞ！ それじゃ、また次回！今日のグルグル、しっかり復習しておくんだぞ！健闘を祈る！🌀