【第５講】リンゴはなぜ落ちる？ ～自由落下を科学する！～
最終更新日: 2025-06-05 11:35:03
作成者: カリスマ講師
前回投げかけた、 \( v-t \)グラフに関するあの２つの質問、自分なりに色々考えてくれたかな？ まずはその答え合わせからいこう！これが分かると、\( v-t \)グラフの理解がググッと深まるぞ！
【前回の宿題解説】\( v-t \)グラフの謎を解け！
質問１：「もし、\( v-t \)グラフの線がずーっと水平だったら、それは物体がどんな運動をしているってことかな？」
- カリスマ講師の答え: それはズバリ、「等速直線運動」だ！
- 解説:
- \( v-t \)グラフの「傾き」は何を表していたっけ？ そう、加速度だよね！
- 線が水平ってことは、傾きがゼロってこと。つまり、加速度 \( a = 0 \mathrm{m/s^2} \) だ。
- 加速度がゼロということは、速度が変化しないってこと。
- だから、物体はずーっと同じ速度で、まっすぐ進み続ける「等速直線運動」をしているってわけだ！お見事！
質問２：「\( v-t \)グラフの面積が「マイナス」になることってあると思う？ もしあるとしたら、それは物理的にどんな意味を持つんだろう？」
- カリスマ講師の答え: ある！そして、それは「物体が負の向きに進んだ変位」を意味するんだ！
- 解説:
- まず、物理では最初に「どっちの向きを正（プラス）にするか」を決めるんだったよね。
- もし物体が、その決めた正の向きとは逆の向き（負の向き）に運動していたら、その速度 \( v \) はマイナスの値になる。
- \( v-t \)グラフで速度 \( v \) がマイナスということは、グラフの線が時間軸（横軸）よりも下側に描かれることになる。
- グラフと時間軸で囲まれた面積を計算するとき、時間軸より下側の部分は数学的に「マイナスの面積」として扱われるんだ。
- そして、この「マイナスの面積」が物理的に何を意味するかというと、「物体が最初に決めた正の向きとは逆方向に、これだけ進みましたよ」という負の変位を表しているんだ。
- 例えば、右向きを正としたときに面積が「-50m」と出たら、それは「左向きに50m進んだ」ってことなんだね。面白いだろ？
どうだったかな？ スッキリしたかい？ グラフの意味をしっかり掴むと、物理現象がもっとクリアに見えてくるからな！
さあ、いよいよお待ちかね！これまで身につけた知識、公式、そして\( v-t \)グラフの考え方を使って、具体的な物理現象を分析していくぞ！ まずは、最もシンプルかつ重要な等加速度直線運動の代表選手、「自由落下」だ！
【第５講】リンゴはなぜ落ちる？ ～自由落下を科学する！～
「自由落下」って言葉は聞いたことあるかな？ これは、物体が空気の抵抗を無視できる状態で、初速度ゼロ（つまり、静かに手を離された状態）で、重力だけを受けてまっすぐ下に落ちていく運動のことだ。
- 熟したリンゴが木からポトリと落ちる（ニュートンさん、こんにちは！）
- 屋上からそっと落としたボール
こんなのが自由落下のイメージだね。
１．自由落下の特徴 ～主役はアイツだ！～
自由落下運動の最大の特徴は、加速度が常に一定で、その向きは鉛直下向きであること。 この特別な加速度のことを「重力加速度 (じゅうりょくかそくど)」と呼んで、記号 \( g \) で表す。
- \( g \) の値は、地球上の場所によってほんの少しだけ違うんだけど、だいたい \( g \approx 9.8 \mathrm{m/s^2} \) (メートル毎秒毎秒) だ。 （問題によっては、計算を簡単にするために \( g = 10 \mathrm{m/s^2} \) として与えられることもあるよ。）
- \( 9.8 \mathrm{m/s^2} \) っていうのは、「1秒経つごとに、下向きに \( 9.8 \mathrm{m/s} \) ずつ速度が増していく」って意味だね。すごい勢いだ！
２．自由落下に公式を適用！
自由落下は、初速度 \( v_0 = 0 \) で、加速度 \( a = g \) （鉛直下向きを正の向きとすることが多い）の等加速度直線運動だ。 だから、あの三種の神器（等加速度直線運動の公式）がそのまま使える！ 鉛直方向の運動なので、変位を \( x \) の代わりに \( y \) で表すことが多いよ。
- 速度と時間の関係式: \( v = v_0 + at \quad \implies \quad \boxed{v = gt} \) （初速度 \( v_0=0 \)、加速度 \( a=g \) を代入！）
- 変位と時間の関係式: \( y = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \quad \implies \quad \boxed{y = \frac{1}{2}gt^2} \) （同じく \( v_0=0, a=g \) を代入！）
- 時間 \( t \) を含まない、速度と変位の関係式: \( v^2 - v_0^2 = 2ay \quad \implies \quad \boxed{v^2 = 2gy} \) （これも \( v_0=0, a=g \) を代入！）
ほら、初速度がゼロだから、公式がちょっとスッキリした形になったね！
３．自由落下のグラフたち
- \( v-t \)グラフ: \( v = gt \) だから、これは原点 \( (0,0) \) を通って、傾きが \( g \) の直線になる。時間が経つほど、びゅーんと速度が上がっていく様子がわかるね。
- \( y-t \)グラフ: \( y = \frac{1}{2}gt^2 \) だから、これは原点 \( (0,0) \) を通る、上に開いた放物線（の右半分）になる。時間が経つほど、落ちる距離が急激に増えていくのが見て取れるぞ。
４．例題に挑戦！
さあ、実際に問題を解いてみよう！
例題： 「高さが \( 49 \mathrm{m} \) の橋の上から、小石を静かに落とした。小石が水面に達するまでの時間 \( t \) と、水面に達する直前の速さ \( v \) を求めよ。ただし、重力加速度の大きさを \( g = 9.8 \mathrm{m/s^2} \) とし、空気抵抗は無視する。」
- カリスマ講師の解き方ナビ！
- 状況確認＆軸設定！ 自由落下だね。鉛直下向きを正の向きとしよう。橋の上が原点 \( y=0 \) だ。
- わかっていること（初期条件など）は？
- 初速度 \( v_0 = 0 \mathrm{m/s} \) （「静かに落とした」からね）
- 変位 \( y = 49 \mathrm{m} \) （橋の高さ）
- 加速度 \( a = g = 9.8 \mathrm{m/s^2} \)
- 求めたいものは？
- 時間 \( t \)
- 水面での速さ \( v \)
- どの公式を使う？
- 時間 \( t \) を求めるには、\( y, v_0, a \) がわかっていて \( t \) を知りたいから… \( y = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 \)、つまり \( y = \frac{1}{2}gt^2 \) が使える！
- 速さ \( v \) を求めるには、\( v_0, a, y \) がわかっていて \( v \) を知りたいから… \( v^2 - v_0^2 = 2ay \)、つまり \( v^2 = 2gy \) が使える！ （あるいは、\( t \) が求まった後なら \( v = gt \) でもOK！）
- レッツ計算！
- まず時間 \( t \) から。 \( y = \frac{1}{2}gt^2 \) より、\( 49 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 \) \( 49 = 4.9 \times t^2 \) \( t^2 = \frac{49}{4.9} = 10 \) \( t > 0 \) だから、\( t = \sqrt{10} \approx 3.16... \) おっと、きれいに割り切れないときは問題の指示に従うか、ルートのままでもOKな場合もあるけど、ここでは \( g=9.8 \) が \( 4.9 \times 2 \) であることに注目すると、 \( 49 = 4.9 t^2 \) から \( t^2 = 10 \)。 （ごめん、例題の数値が少し意地悪だったかな？ もし \( y=44.1\mathrm{m} \) とかだったら \( t=3\mathrm{s} \) とスッキリするんだけど…
まあ、ルートの計算も練習だ！） 【修正】 カリスマ講師、うっかり！ \( 49 = 4.9 t^2 \)、\( t^2 = 10 \) で \( t = \sqrt{10} \)s だね。 もし \( t^2=10 \) ではなく、例えば \( t^2=9 \) なら \( t=3\mathrm{s} \) となる。 せっかくだから、もっとスッキリする数値でやり直してみようか！ もし橋の高さが \( 19.6 \mathrm{m} \) だったら…
19.6 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 19.6 = 4.9 \times t^2 t^2 = \frac{19.6}{4.9} = 4 t = 2.0 \mathrm{s} （これならスッキリ！） * 次に速さ v （t=2.0\mathrm{s} の場合で）。 v = gt より、v = 9.8 \times 2.0 = 19.6 \mathrm{m/s} または、v^2 = 2gy より、v^2 = 2 \times 9.8 \times 19.6 = 19.6 \times 19.6 = (19.6)^2 v = 19.6 \mathrm{m/s} (下向き) * ということで、もし橋の高さが 19.6\mathrm{m} なら、水面に達するまでの時間は 2.0秒、そのときの速さは 19.6 \mathrm{m/s} だ！
ごめんごめん、最初の数値設定でちょっと計算が複雑になりそうだったから、途中で修正させてもらったよ！物理の問題では、こうやってキリの良い数字が使われることも多いからね！
どうだったかな？ 自由落下、少しは身近に感じられただろうか？ 重力っていう、いつも我々に働いている力のおかげで起こる、とても基本的な運動なんだ。
ここで、またまた頭の体操！ 1. 自由落下で、もし2倍の高さから物を落としたら、地面に着くまでの時間は単純に2倍になると思う？ それとも… ？（ヒント： \( y = \frac{1}{2}gt^2 \) の式をよーく見てみよう！） 2. 自由落下している物体の \( v-t \)グラフ。その傾きは一定だったよね？ それは何を意味していたっけ？
次回は、初速度がゼロじゃない場合、「鉛直投げ下ろし」と「鉛直投げ上げ」について解説していくぞ！ボールを投げたときの軌跡を予測できるようになるかも！？ お楽しみに！🚀