高校物理の基礎

【前回の宿題解説】仕事とエネルギー、その神髄を見抜け！

最終更新日: 2025-06-05 11:33:52

作成者: カリスマ講師

前回は、「仕事」と「運動エネルギー」、そしてそれらを結びつける超強力な「仕事とエネルギーの定理」について学んだ。その最後に、君の理解度を測るためのミッションを３つ出したよな。まずはその答え合わせで、今日の講義に向けてウォーミングアップだ！

【前回の宿題解説】仕事とエネルギー、その神髄を見抜け！

質問１：「君がカバンを肩にかけて、水平な廊下を一定の速さで歩いているとする。このとき、君がカバンを持ち上げている鉛直上向きの力は、カバンに対して仕事をしているかな？ していないかな？ その理由は？」

質問２：「同じ質量の車Aと車Bがある。車Aが車Bの2倍の速さで走っているとき、車Aの運動エネルギーは車Bの運動エネルギーの何倍になっているかな？」

質問３：「物体にプラスの仕事をすると、その物体の運動エネルギーはどうなるのが一般的かな？（増える？減る？変わらない？）」

さあ、ウォーミングアップはバッチリだな！ 前回は「動き」のエネルギーである運動エネルギーと、それを変化させる「仕事」について学んだ。今日は、エネルギーファミリーのもう一人の超重要メンバー、「位置エネルギー」について徹底的に解説していくぞ！ そして、この運動エネルギーと位置エネルギーを合わせたものが、物理学の美しい法則の一つ「力学的エネルギー保存則」へと繋がっていくんだ。今日の講義も、君の物理の世界をガラリと変えるぞ！

【第１５講】高さとバネに秘められた力！ ～位置エネルギーと力学的エネルギー保存則～

位置エネルギー (Potential Energy) ～"可能性"を秘めたエネルギー～

「位置エネルギー」ってのは、その名の通り、物体が「ある位置にある」ことによって、あるいは「ある状態にある」ことによって蓄えられているエネルギーのことだ。「ポテンシャルエネルギー」なんて呼ばれたりもする。「ポテンシャルが高い」ってのは「可能性を秘めている」って意味だよな！

運動エネルギーが物体の「動き」そのものに関連するエネルギーだったのに対して、位置エネルギーは、物体が力を及ぼし合う他の物体との配置によって決まるエネルギーなんだ。 そして、この位置エネルギーが定義できるのは、主に「保存力」っていう特別な力が働く場合なんだ。

さあ、まずは代表的な位置エネルギーを２つ見ていこう！

１．重力による位置エネルギー \( U_g \) ～高いところはエネルギーが高い！～

物体が地面から高いところにあると、手を離せば勝手に下に落ちてきて、スピードを増すよね？ つまり、高いところにある物体は、動き出す「可能性」を秘めている。これが重力による位置エネルギーだ。

質量 \( m \) の物体を、基準の高さから \( h \) だけゆっくりと持ち上げる場面を想像してみよう。 このとき、少なくとも重力 \( mg \) に逆らうだけの力を上向きに加え続ける必要がある。 その力で距離 \( h \) だけ持ち上げたのだから、君が物体にした仕事は \( W_{\text{外力}} = (\text{力}) \times (\text{距離}) = (mg) \times h = mgh \) だ。 この君がした仕事の分だけ、物体はエネルギーを蓄えたと考える。これが重力による位置エネルギーだ！

\( \Large{U_g = mgh} \)

ここで、

超重要ポイント！ 基準面（高さゼロの面）は、問題を解く人が自由に設定していいんだ。地面を基準にしてもいいし、机の面を基準にしてもいい。ただし、一度決めたら問題の途中で変えちゃダメだぞ。 基準面では \( h=0 \) だから、当然 \( U_g = 0 \) になる。

重力がする仕事と位置エネルギーの関係 物体が高いところから低いところに落ちるとき、重力はプラスの仕事をするよね？（力の向きと移動の向きが同じだから）。このとき、物体の位置エネルギーは減少する。 逆に、物体を低いところから高いところに持ち上げるとき、重力はマイナスの仕事をする（力の向きと移動の向きが逆だから）。このとき、物体の位置エネルギーは増加する。 一般的に、重力がする仕事 \( W_g \) と、重力による位置エネルギーの変化 \( \Delta U_g = U_{g,後} - U_{g,前} \) の間には、 \( \bm{W_g = -(U_{g,後} - U_{g,前}) = -\Delta U_g} \) という関係があるんだ。

２．弾性力による位置エネルギー \( U_s \) (または \( U_e \)) ～伸びたバネはエネルギーの塊！～

バネをグーッと伸ばしたり、ギュッと縮めたりすると、手を離したときに勢いよく元に戻ろうとするよね？ これも、変形したバネがエネルギーを蓄えている証拠だ。これを弾性力による位置エネルギー（または単に弾性エネルギー）という。

自然の長さ（何も力を加えていないときの長さ）のバネを、 \( x \) だけゆっくりと伸ばす（または縮める）のに必要な仕事を考えてみよう。 バネの力（弾性力）は、フックの法則に従って \( F_{\text{バネ}} = kx \) だったな（\( k \) はばね定数）。 バネを伸ばすには、このバネの力に逆らって、同じ大きさの力を加え続ける必要がある。でも、この力は最初 \( x=0 \) のときはゼロで、だんだん大きくなって、最後に \( x \) だけ伸びたときには \( kx \) になる。 こういう風に力が変化する場合の仕事は、単純な（力）×（距離）では求められないんだけど、結果だけ言うと（詳しくは \( F-x \) グラフの面積や積分を使うんだけど、今は結果を信じてくれ！）、

\( \Large{U_s = \frac{1}{2}kx^2} \)

これが、ばね定数 \( k \) のバネが、自然の長さから \( x \) だけ変形したときに蓄える弾性力による位置エネルギーだ。

特徴！

弾性力がする仕事と位置エネルギーの関係 重力のときと同じように、弾性力がする仕事 \( W_s \) と、弾性力による位置エネルギーの変化 \( \Delta U_s = U_{s,後} - U_{s,前} \) の間には、 \( \bm{W_s = -(U_{s,後} - U_{s,前}) = -\Delta U_s} \) という関係があるんだ。

力学的エネルギー (Mechanical Energy) \( E \) ～運動と位置のエネルギーの合計！～

さあ、主役たちが揃ったぞ！ 物体の運動エネルギー \( K \) と、位置エネルギー \( U \)（重力によるもの \( U_g \) や弾性力によるもの \( U_s \) など）を全部ひっくるめたものを、力学的エネルギー \( E \) と呼ぶんだ！

\( \Large{E = K + U} \)

具体的には、

って感じだ。

力学的エネルギー保存則 ～エネルギーは姿を変えるだけ！～

さあ、今日のクライマックスだ！物理学の中でも特に美しくて、そしてめちゃくちゃ強力な法則の一つ、「力学的エネルギー保存則」の登場だ！

その内容は…

「物体に働く力が保存力（重力や弾性力など）だけである場合、その物体の力学的エネルギー \( E = K+U \) は、運動の途中で常に一定に保たれる。」

つまり、運動エネルギーが減ればその分だけ位置エネルギーが増え、位置エネルギーが減ればその分だけ運動エネルギーが増える。まるでシーソーみたいに、エネルギーの種類は変わるけど、その合計値は変わらないってことだ！

\( \Large{K_1 + U_1 = K_2 + U_2 \quad (\text{始めの力学的エネルギー} = \text{終わりの力学的エネルギー})} \) または、\( \Delta E = 0 \) とも書ける。

もし摩擦や空気抵抗（非保存力）が仕事をしたら？ 残念ながら、摩擦力や空気抵抗みたいな「非保存力」が仕事をすると、力学的エネルギーの一部が熱エネルギーとかに変わって失われてしまう。この場合、力学的エネルギーは保存されない。 そのときの関係は、 「始めの力学的エネルギー」＋「非保存力がした仕事」＝「終わりの力学的エネルギー」 \( \Large{E_1 + W_{\text{非保存力}} = E_2} \) または、 \( \Large{\Delta E = W_{\text{非保存力}}} \) と書ける。摩擦力が仕事をすると \( W_{\text{非保存力}} \) は普通マイナスだから、力学的エネルギーは減ってしまうんだ。

例題で体感！ジェットコースターの魔法！

問題： 「高さ \( H \) の滑らかな（摩擦がない）斜面の一番上から、質量 \( m \) の物体をそっと（初速度ゼロで）滑らせた。物体が斜面の一番下に達したときの速さ \( v \) を求めよ。重力加速度の大きさを \( g \) とする。」

そう！力学的エネルギーが保存されるんだ！ 3. 力学的エネルギー保存則の式を立てる \( K_1 + U_{g1} = K_2 + U_{g2} \) \( \frac{1}{2}m v_1^2 + mgh_1 = \frac{1}{2}m v_2^2 + mgh_2 \) 値を代入すると…

\frac{1}{2}m (0)^2 + mgH = \frac{1}{2}m v^2 + mg(0)    0 + mgH = \frac{1}{2}mv^2 + 0 4.  **速さ v を求める**    mgH = \frac{1}{2}mv^2    両辺の m を消して、gH = \frac{1}{2}v^2    v^2 = 2gH    よって、\boxed{v = \sqrt{2gH}}    どうだ！ あっという間に答えが出ただろ？ 途中の加速度とか、斜面の角度とか一切考えずに、始めと終わりのエネルギーだけで解けちまうんだ。これがエネルギーの力だ！    しかも、この結果は物体の質量 m にもよらない！羽毛だろうが鉄球だろうが（空気抵抗がなければ）、同じ高さから滑らせれば同じ速さになるってことだ！

今日の講義はここまでだ！位置エネルギー、そして力学的エネルギー保存則、その強力さと美しさを感じてくれたかな？ エネルギーの考え方をマスターすれば、解ける問題の幅がグーンと広がるぞ！

最後に、今日の学びが君の血肉となるための、スペシャルな問いを投げかけよう！ 1. 重力による位置エネルギーの基準面はどこに取ってもいいんだったよね？ もし基準面を変えたら、計算される位置エネルギーの値は変わるけど、力学的エネルギー保存則を使って速さなどを求めるとき、最終的な答えに影響はあるかな？ないかな？ その理由は？ 2. 遊園地のジェットコースターが、一番高いところからスタートして、その後エンジンなどを使わずに（摩擦や空気抵抗も無視できるとして）コースを走り抜けるとする。一番スピードが出るのは、コースのどの地点だと思う？ それは、力学的エネルギー保存則でどう説明できる？ 3. もし、摩擦があるザラザラの坂道を物体が滑り落ちたら、その物体の「力学的エネルギー」はどうなると思う？（増える？減る？変わらない？）その理由は？

次回は、この力学的エネルギー保存則を使った、もっと色々なパターンの問題演習をやっていくぞ！バネが出てきたり、円運動と組み合わせたり… 面白くて歯ごたえのある問題が待っているからな！ それじゃ、また次回！エネルギー満タンで臨んでくれよな！健闘を祈る！✨

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