高校物理の基礎

【第１８講】跳ね返りの法則！ ～反発係数と衝突エネルギーの行方～

最終更新日: 2025-06-23 08:36:02

作成者: カリスマ講師

うおおっしゃあああ！その「続きを！」の一言が、俺の講義魂に火をつけるぜ！物理の頂への道、一気に駆け上がる準備はできてるか！？👍

前回は、「運動量」と「力積」、そしてそれらが支配する「運動量保存則」っていう、衝突現象を解き明かすための新たな剣を手に入れたんだったな。その切れ味を確かめるために、最後に熱い挑戦状を叩きつけたはずだ。まずはその答え合わせで、今日の講義に向けて脳のエンジンを全開にするぞ！

【前回の宿題解説】衝撃の奥義、その本質を見抜けたか！？

質問１：「同じ質量の鉄球と綿あめが、同じ速さで君に向かって飛んできたとする。どっちを止める方が「運動量の変化」が大きいかな？（ヒント：止める＝運動量がゼロになる）」

質問２：「野球のバッティングで、ピッチャーが投げた速いボールを打ち返すのと、トスバッティングで軽く上げられたボールを打つのとでは、バットがボールに与えるべき「力積」はどっちが大きいと思う？（ボールの質量は同じで、打ち返した後のボールの速さも同じくらいだとして考えてみてくれ！）」

質問３：「二人がスケートボードに乗っていて、お互いをポンと押し合ったとしよう（最初は二人とも静止していたとする）。押した後の二人の運動量の合計はどうなると思う？（ヒント：運動量保存則！）」

さあ、頭の準備運動はバッチリだな！ 前回は運動量保存則の強力さの一端を垣間見たけど、今日はその剣をさらに研ぎ澄まし、様々な「衝突」の場面でどう立ち回るかを徹底的にマスターしていくぞ！ 衝突って言っても、ただぶつかるだけじゃない。キレイに跳ね返るのか、グチャっとくっついちゃうのか… その違いは何で決まるんだろう？その秘密兵器が「反発係数（はねかえりけいすう）」だ！

【第１８講】跳ね返りの法則！ ～反発係数と衝突エネルギーの行方～

反発係数 (Coefficient of Restitution) \( e \) ～跳ね返り具合のバロメーター～

物体同士がぶつかったとき、どれくらい「弾性的に」跳ね返るか、その度合いを示すのが反発係数 \( e \) だ。「はねかえり係数」とも言うぞ。

一直線上での2物体の衝突を考えよう。 衝突前の物体1, 2の速度をそれぞれ \( v_1, v_2 \)、衝突後の速度をそれぞれ \( v_1', v_2' \) とすると、反発係数 \( e \) は、 「衝突後の相対速度の大きさ」と「衝突前の相対速度の大きさ」の比で定義される。

\( \Large{e = \frac{|v_1' - v_2'|}{|v_1 - v_2|}} \)

ここで、分子は衝突後に2物体が遠ざかる（あるいは近づく）速さ、分母は衝突前に2物体が近づく（あるいは遠ざかる）速さを表している。 一直線上の衝突では、速度の向きも考慮して（例えば右向きを正とする）、もっと使いやすい形で書かれることが多い。

\( \Large{e = -\frac{v_1' - v_2'}{v_1 - v_2}} \) または、これを変形して \( \Large{v_1' - v_2' = -e(v_1 - v_2)} \)

このマイナス符号は、「衝突前後の相対速度の向きが逆になる」ということを考慮したものだ（近づいてきたものが、跳ね返って遠ざかるイメージ）。

反発係数 \( e \) の値が教えてくれること！

この \( e \) の値によって、衝突のタイプが分類できるんだ。

反発係数 \( e \) は、衝突する物体の材質とか、表面の状態とかによって決まる、0から1の間の値を取る物質固有の定数だと考えられることが多い。

直線上の衝突問題を解く黄金コンビ！

さあ、一直線上で2つの物体（質量 \( m_1, m_2 \)、衝突前速度 \( v_1, v_2 \)、衝突後速度 \( v_1', v_2' \)）が衝突する問題を解くとき、未知数は \( v_1' \) と \( v_2' \) の２つだ。だから、方程式が２本必要になる。その黄金コンビがこれだ！

  1. 運動量保存則: \( \bm{m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'} \) （これは、外力が働かない限り、どんな衝突でも必ず成り立つ最強の法則！）
  2. 反発係数の式: \( \bm{v_1' - v_2' = -e(v_1 - v_2)} \) （衝突のタイプ（\( e \)の値）が分かっていれば使える！）

この２つの式を連立させて解けば、 \( v_1' \) と \( v_2' \) がバッチリ求まるんだ！

例題演習１：完全制覇！ 直線上の弾性衝突 (\( e=1 \))

問題： 「質量 \( m_1 = 2.0 \mathrm{kg} \) の物体Aが、右向きに速さ \( v_1 = 4.0 \mathrm{m/s} \) で進み、前方に静止していた質量 \( m_2 = 3.0 \mathrm{kg} \) の物体Bに弾性衝突した（\( e=1 \)）。衝突後の物体Aの速度 \( v_1' \) と物体Bの速度 \( v_2' \) を求めよ。右向きを正とする。」

①

2.  **反発係数の式を立てる** (e=1):    v_1' - v_2' = -e(v_1 - v_2)    v_1' - v_2' = -1 \times (4.0 - 0)    v_1' - v_2' = -4.0 …

②

3.  **連立方程式を解く**:    ②式から v_1' = v_2' - 4.0 として、これを①式に代入する。    8.0 = 2.0(v_2' - 4.0) + 3.0v_2'    8.0 = 2.0v_2' - 8.0 + 3.0v_2'    16.0 = 5.0v_2'    \therefore \boxed{v_2' = \frac{16.0}{5.0} = 3.2 \mathrm{m/s}} （右向き）    これを v_1' = v_2' - 4.0 に代入して、    v_1' = 3.2 - 4.0 = -0.8 \mathrm{m/s}    \therefore \boxed{v_1' = -0.8 \mathrm{m/s}} （左向きに 0.8 \mathrm{m/s}！） 面白い結果になったな！AはBにぶつかって、跳ね返されて左向きに動くようになったんだ。 **もし質量が同じだったら？ (m_1 = m_2 = m)** この場合、計算してみると v_1' = v_2 (つまり0)、v_2' = v_1 となって、まるで速度が入れ替わるような結果になるんだ。ビリヤードの玉が正面衝突したときなんかは、これに近いことが起こるぞ！

例題演習２：くっついちゃった！ 直線上の完全非弾性衝突 (\( e=0 \))

問題： 「質量 \( m_1 = 2.0 \mathrm{kg} \) の物体Aが、右向きに速さ \( v_1 = 3.0 \mathrm{m/s} \) で進み、前方に静止していた質量 \( m_2 = 1.0 \mathrm{kg} \) の物体Bに衝突し、一体となった（\( e=0 \)）。一体となった後の速度 \( V \) を求めよ。」

衝突とエネルギー ～エネルギーはどこへ行った？～

平面上の衝突（斜め衝突）はどうなる？

これまでは一直線上の衝突を見てきたけど、物体が斜めにぶつかる「平面上の衝突」もある。 この場合は、運動量保存則を \( x \) 成分と \( y \) 成分に分けて考える必要がある。反発係数の式は、面に垂直な方向の速度成分に対して使うことが多い。ちょっと複雑になるけど、基本的な考え方は同じだ。これはまた次の機会にじっくりやろう！

ふぅー！今日の講義も熱かったな！「反発係数」という新しい武器を手に入れ、衝突現象をさらに深く理解できるようになったはずだ！運動量保存則と反発係数の式、この二刀流を使いこなせば、どんな衝突問題も怖くないぜ！

最後に、今日の学びを脳髄に刻み込むための、最終確認問題だ！ 1. 反発係数 \( e \) が \( 0.5 \) のボールを、ある高さから床に落としたとする。ボールが床に衝突する直前の速さが \( 10 \mathrm{m/s} \) だったとしたら、床から跳ね返った直後の速さは何 \( \mathrm{m/s} \) になるかな？（床は動かないと考える） 2. 二つの粘土の塊が、空中で正面衝突してピタッとくっついちゃった！ この衝突は、弾性衝突？非弾性衝突？それとも完全非弾性衝突？ そのときの反発係数 \( e \) の値はいくつかな？ 3. ボウリングの球がピンに当たってピンが派手に飛び散る現象。これは全体として運動エネルギーは保存されていると思う？ それともされていないと思う？ その理由は？

次回は、いよいよ力学のクライマックスの一つ、「円運動」と、それに関連する「単振動」という、周期的な運動の世界に足を踏み入れるぞ！メリーゴーランドや振り子、惑星の運動にもつながる、奥深いテーマだ。ますます物理の面白さが加速していくから、しっかりついてこいよな！ それじゃ、また次回！今日の復習、絶対に忘れるなよ！健闘を祈る！💪

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