高校物理の基礎

【第１７講】ぶつかる衝撃の正体！ ～運動量と力積、そして保存の法則～

最終更新日: 2025-06-05 11:30:52

作成者: カリスマ講師

運動量 (Momentum) \( \vec{p} \) ～動きの勢いを表す量～

まず、「運動量」ってのは、その名の通り「運動の勢い」を表す物理量だ。 質量 \( m \) の物体が速度 \( \vec{v} \) で運動しているとき、その運動量 \( \vec{p} \) は、

\( \Large{\vec{p} = m\vec{v}} \)

と定義される。

ニュートンの第２法則、実は運動量で書ける！ 実は、ニュートンが最初に運動の法則を考えたとき、第２法則は「力の合力は、運動量の時間変化の割合に等しい」っていう形で表現されていたんだ。 \( \Large{\vec{F}{\text{合力}} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}} \) もし質量 \( m \) が一定なら、\( \Delta \vec{p} = \Delta (m\vec{v}) = m \Delta \vec{v} \) となるから、 \( \vec{F} \) となって、我々がよく知る運動方程式 \( m\vec{a} = \vec{F}_{\text{合力}} \) と同じになるんだ！}} = m \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = m\vec{a

力積 (Impulse) \( \vec{I} \) ～力が与える「衝撃」の量～

次に「力積」だ。これは、力が物体に与える「衝撃の大きさ」を表す物理量だと思えばいい。 物体に一定の力 \( \vec{F} \) が、短い時間 \( \Delta t \) だけ作用したとき、その力が物体に与える力積 \( \vec{I} \) は、

\( \Large{\vec{I} = \vec{F} \Delta t} \)

と定義される。

もし力が時間的に変化する場合は、その力のグラフ（縦軸が力 \( F \)、横軸が時間 \( t \)）を描いたときの、グラフと時間軸で囲まれた「面積」が力積を表すことになる（これは積分の考え方だな）。

力積と運動量の関係（運動量変化） ～衝撃が運動を変える！～

さあ、運動量と力積、この二つを結びつける超重要な関係が出てくるぞ！ ニュートンの第２法則を運動量で書いた式 \( \vec{F}{\text{合力}} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t} \) の両辺に \( \Delta t \) を掛けてみよう。 \( \vec{F} \) 左辺はまさに力積 \( \vec{I} \) だ！そして右辺 \( \Delta \vec{p} \) は運動量の変化 (\( \vec{p}}} \Delta t = \Delta \vec{p{\text{後}} - \vec{p} \)) だ！ つまり！}

\( \Large{\vec{I} = \Delta \vec{p}} \) 「物体が受けた力積は、その物体の運動量の変化に等しい」

これが力積と運動量の関係（運動量変化の原理）だ！ 例えば、バットでボールを打つとき、バットがボールに与える力積が大きいほど、ボールの運動量は大きく変化する（つまり、速い打球になる）。

運動量保存則 ～ぶつかっても合計は変わらない！？～

今日のメインイベント！「運動量保存則」だ！ これは、力学的エネルギー保存則と並んで、物理学で最も強力な保存則の一つだ。

考えてみよう。物体Aと物体Bが衝突する場面を想像してくれ。 衝突の間、AはBから力 \( \vec{F}{BA} \) を受け、BはAから力 \( \vec{F} \) を受ける。 ニュートンの第３法則（作用・反作用の法則）から、この２つの力は大きさが等しくて向きが逆だ。つまり、\( \vec{F}{AB} = -\vec{F} \)。

衝突時間を \( \Delta t \) とすると、 Aが受けた力積は \( \vec{I}A = \vec{F}} \Delta t = \Delta \vec{pA \) Bが受けた力積は \( \vec{I}_B = \vec{F}_B \)} \Delta t = \Delta \vec{p

ここで、 \( \vec{F}{AB} \Delta t = -\vec{F}_A \) となる。 移項すると、\( \Delta \vec{p}_A + \Delta \vec{p}_B = \vec{0} \) だ！ これは、「Aの運動量の変化」と「Bの運動量の変化」を足すとゼロになる、つまり、} \Delta t だから、\Delta \vec{p}_B = -\Delta \vec{p「AとBを合わせた全体の運動量は変化しない」ということを意味している！

これを一般的に言うと…

「複数の物体からなる系（システム）に、外部から力が働かない（または働く外力の合力がゼロである）場合、その系全体の運動量の合計は、相互作用の前後で常に一定に保たれる。」

\( \Large{\sum \vec{p}{\text{始め}} = \sum \vec{p} \)}}

これが運動量保存則だ！ 衝突や分裂の現象では、内力（物体同士が及ぼし合う力）は非常に大きいけど、作用時間が短かったり、外力がそれらに比べて無視できたりする場合が多い。そんなときに、この運動量保存則が絶大な威力を発揮するんだ！

衝突の種類について（ちょこっとだけ） 衝突には、運動エネルギーも保存される「弾性衝突（完全弾性衝突ともいう）」と、運動エネルギーが保存されない（熱や音になったり、変形したりする）「非弾性衝突」がある。その中でも、衝突後に物体が一体となってくっついちゃうのを「完全非弾性衝突」っていうんだ。 重要なのは、どんな衝突であっても、運動量保存則は（外力が無視できれば）常に成り立つってことだ！

例題で体感！ くっついちゃった！

問題： 「摩擦のない水平な直線上を、質量 \( m_A = 2.0 \mathrm{kg} \) の台車Aが右向きに速さ \( v_A = 3.0 \mathrm{m/s} \) で進んできて、前方に静止していた質量 \( m_B = 1.0 \mathrm{kg} \) の台車Bに衝突し、一体となって運動した。一体となった後の台車の速さ \( V \) を求めよ。」

ふぅー！今日の講義も濃密だったな！「運動量」と「力積」、そして超強力な「運動量保存則」。これらの新しい武器を手に入れた君は、また一つ物理の新たな地平を切り開いたことになる！ 衝突現象の解析は、この運動量保存則がなければ手も足も出ないことが多いんだ。

最後に、今日の学びを脳に刻み込むための、熱血チャレンジ問題だ！ 1. 同じ質量の鉄球と綿あめが、同じ速さで君に向かって飛んできたとする。どっちを止める方が「運動量の変化」が大きいかな？（ヒント：止める＝運動量がゼロになる） 2. 野球のバッティングで、ピッチャーが投げた速いボールを打ち返すのと、トスバッティングで軽く上げられたボールを打つのとでは、バットがボールに与えるべき「力積」はどっちが大きいと思う？（ボールの質量は同じで、打ち返した後のボールの速さも同じくらいだとして考えてみてくれ！） 3. 二人がスケートボードに乗っていて、お互いをポンと押し合ったとしよう（最初は二人とも静止していたとする）。押した後の二人の運動量の合計はどうなると思う？（ヒント：運動量保存則！）

次回は、この運動量保存則をさらに深く掘り下げて、いろんなパターンの衝突問題（弾性衝突、非弾性衝突、斜め衝突など）に挑戦していくぞ！そして、衝突におけるエネルギーの行方についても考えていく。ますます目が離せない展開になること間違いなしだ！ それじゃ、また次回！今日の衝撃、忘れるなよ！健闘を祈る！💪

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